PV, FV, NPV

PV, NPV

实际上 PV 和 FV 非常简单，主要就是考虑利滚利 (Compounding of Interest)，把指数算清楚即可。

钱的 PV 相当于说，如果某笔 $T$ 年后的钱 $Q$ ，且利率 $r$ 保持不变，那么现在要存 $PV$ 块钱，这样经过 $T$ 年的利滚利，这 $PV$ 块钱就变成了 $Q$ 块钱。

PV\times (1+r)^T=Q

反过来，Future Value 就是，现在存的 $Q$ 块钱，在 $T$ 年后会变成 $FV$ 块钱。

FV=Q\times(1+r)^T

本质就是多笔钱的 FV/PV 全部换算到当前的时间点，

PV_{aggregate}=\sum PV_{i}\\ FV_{aggregate}=\sum FV_{i}\\

由于每笔钱的利滚利时间不同，因此右式的和式通常又可以写成有限项等比数列求和的形式

表示永久持续的恒定现金流，用 $C$ 表示每年的现金流（且第一笔现金在一年后）

必须满足两个条件：

那么所有这些钱的 PV 就是

\begin{aligned} PV&=\sum_{i=1}^{\infin} C\times(\frac{1}{1+r})^i\\ &=\frac{C}{r} \end{aligned}

与 Perpetuity 的区别在于 Annuity 有时限。假设经过 $T$ 年，那么 Annuity 的 PV 就等于

PV=C(\frac{1}{1+r})+C(\frac{1}{1+r})^2+\dots+C(\frac{1}{1+r})^T=C\times\frac{1-(\frac{1}{1+r})^T}{r}

在一笔现金的时候我们知道， $(\frac{1}{1+r})^T$ 就是 Present Value Factor，所以也可以直接代入写成

PV=\frac{1-\text{Present Value Factor}(T)}{r}C

如果以第 $T$ 年的价值作为基准，把每一笔钱的 FV 都加起来，就能得到

FV=\frac{(1+r)^T-1}{r}C=\frac{\text{Future Value Factor}(T)-1}{r}C

由于通胀 (Inflation) 的存在，尽管手上的钞票数量变多了，但这并不意味着购买力 (Purchasing Power) 提升。

Purchasing Power: the quantity of goods and services that we can buy with our money.

Fisher’s Equation

我们用 $h$ 表示物价的变化，即通胀率 (Inflation Rate)，则可以得出他们之间的关系 (Fisher Equation)

(1+r)(1+h)=(1+R)

证明

考虑一开始的钱 $Q$ ，一开始的物价 $P$ ，则今年的购买力为 $\frac{Q}{P}$ ，明年的购买力（即经过一年的通胀）为 $\frac{Q(1+R)}{P(1+h)}$

根据 Real Interest Rate 的定义，我们有

\begin{aligned} \frac{\text{Purchase Power}_{i+1}-\text{Purchase Power}_i}{\text{Purchase Power}_i}&=\text{Real IR}\\ \frac{\frac{Q(1+R)}{P(1+h)}}{\frac{Q}{P}}&=1+r\\ (1+r)(1+h)&=1+R \end{aligned}

由于这些值都很小，所以我们通常直接近似为 $r\approxeq R-h$

Inflation 并不影响 PV 和 NPV。但必须 discount nominal cash at a nominal rate 或者 discount real cash at a real rate

证明

考虑 inflation rate 为 $h$ ，nominal interest rate 为 $R$ ，考虑 $n$ 年后的一笔钱 $C$ (nominal)，那么用 Nominal Interest Rate 算的话

PV_{nominal}=\frac{C}{(1+R)^n}

用购买力计算的话， $n$ 年后的购买力为 $\frac{C}{(1+h)^n}$ ，因此 discount at a real rate 的话，即为

PV_{real}=\frac{\frac{C}{(1+h)^n}}{(1+r)^n}

代入 Fisher’s Equation $1+R=(1+h)(1+r)$ 可得

PV_{real}=PV_{nominal}

因此其实并不影响 Present Value。对于 Net PV，由于基准年的金额有 $Nominal=Real$ ，因此也不影响 NPV