Unit Requirement Table 与 Unit Productivity Table

Requirement 和 Productivity Table 最重要的区别就是：前者给出生产一个物品需要的资源，后者给出在限定资源的情况下能生产多少物品。

有一个简单的转化：

1Requirement=Productivity \frac{1}{\text{Requirement}}=\text{Productivity}

Opportunity Cost

Opportunity Cost Copp()C_{opp}() 描述某个人在生产某件物品的时候，能够生产多少的其他物品；直观理解就是这个人生产这件物品有多 efficient

重要公式
Copp(A)=Time of ATime of B=Productivity of BProductivity of AC_{opp}(A)=\frac{\text{Time of }A}{\text{Time of }B}=\frac{\text{Productivity of }B}{\text{Productivity of }A}

这里的 Quantity 是在一段长度确定的时间内的。并且可以注意到 Copp(A)=1Copp(B)C_{opp}(A)=\frac{1}{C_{opp}(B)}

如果对于两个人 X,YX,Y，如果 Copp,X(A)<Copp,Y(A)C_{opp,X}(A)\lt C_{opp,Y}(A)，即 XX 在 AA 上的 Opportunity Cost 更小，我们称 XX 在 AA 上有 Comparative Advantage.

Specialization 分工

一个经济体里肯定会有分工，理性经济体里的分工由 Opportunity Cost 的大小来决定：让 Copp(A)C_{opp}(A) 最小的人来负责这件 AA （总是让最高效的人来处理这件事）

分工的存在，也可以让经济体达到 1+1>21+1\gt 2 的效果。

Term of Trade (TOT)

TOTTOT 描述交易时的换算比例（例如 1.11.1 Tea/Cake 说明 11 个蛋糕能交易 1.11.1 包茶）

因为交易的双方都需要从交易中获利（否则根本不会进行交易），此时 Term of Trade 叫需要满足一些条件，使得双方都能获利。这里的获利的意思是，我从你这里买东西比我自己生产这个东西要好（你更加熟练，需要的资源更少）。

一个重要的公式就是，对于交易的双方，TOTAperBTOT_{A\mathop{per}B}（表示 1 unit B=TOT unit A\text{\(1\) unit \(B=TOT\) unit \(A\)}）应该满足

Copp,X(A)≤TOTAperB≤Copp,Y(A) C_{opp,X}(A)\le TOT_{A\mathop{per}B}\le C_{opp,Y}(A)
证明

我们假设经济体只生产 A,BA,B 两件物品，且生产 AA 的 XX 与生产 BB 的 YY 进行交易。那么我们首先知道，根据分工，有

Copp,X(A)<Copp,Y(A)Copp,X(B)>Copp,Y(B) C_{opp,X}(A)\lt C_{opp,Y}(A)\\ C_{opp,X}(B)\gt C_{opp,Y}(B)

交易双方判断能否获利的准则是：

  1. （Requirement）生产相同数量时，相比自己生产，能否获得资源上的节约？
  2. （Quantity）拥有相同数量资源时，相比自己生产，能否获得产品数量上的提升？

现在假设 TOT 的计算是 11 个单位 BB 能交易 TOTTOT 单位的 AA（那么其单位就是 A/BA/B），用资源的节省量推导。

那么，对 XX 而言，他生产的是 AA，购买的是 BB，那么他生产的 11 个单位的 AA 能换来 1TOT\frac{1}{TOT} 的 BB，理论应该节约

RX(B)−1TOTRX(A)≥0  ⟺  TOT≥RX(A)RX(B)=Copp,X(A) \begin{aligned} &R_{X}(B)-\frac{1}{TOT}R_X(A)\ge 0\\ \iff &TOT\ge \frac{R_X(A)}{R_X(B)}=C_{opp,X}(A) \end{aligned}

同理，对 YY 而言，他生产的每单位 BB 能换 TOTTOT 单位的 AA，理论上，生产 AA 可以节约

RY(A)−TOT×RY(B)≥0  ⟺  TOT≤RY(A)RY(B)=Copp,Y(A) \begin{aligned} &R_Y(A)-TOT\times R_Y(B)\ge 0\\ \iff&TOT\le\frac{ R_Y(A)}{R_Y(B)}=C_{opp,Y}(A) \end{aligned}

所以，对于交易的双方，TOTAperBTOT_{A\mathop{per}B}（表示 1 unit B=TOT unit A\text{\(1\) unit \(B=TOT\) unit \(A\)}）应该满足

Copp,X(A)≤TOTAperB≤Copp,Y(A) C_{opp,X}(A)\le TOT_{A\mathop{per}B}\le C_{opp,Y}(A)

(PPC) Production Possibility Curve

PPC 上的一条直线

我们假设纵轴表示 AA 的生产，横轴表示 BB 的生产，那么截距表示全力生产某一样物品的情况下，该物品的产量。

我们来考察这条直线的斜率 kk，则有

k=−Productivity of AProductivity of B=−Copp(B)=−1Copp(A) \begin{aligned} k&=-\frac{\text{Productivity of }A}{\text{Productivity of }B}\\ &=-C_{opp}(B)\\ &=-\frac{1}{C_{opp}(A)} \end{aligned}

我们更关心 ∣k∣|k|，这个绝对值的意义更加鲜明：多生产 11 个单位的 BB 的 Opportunity Cost 为 ∣k∣|k| 的单位的 AA.，而 ∣k∣=Copp(B)|k|=C_{opp}(B)

多条直线：分工

Low-Hanging-Fruit Principle

这个原理描述一个经济体内多人合作分工时，若要扩大生产，一定先让 Lowest Opportunity Cost 的人去做（因为最高效）

如果扩大的是 BB 的生产（横轴），那么从左向右斜率的绝对值越来越大，越来越陡峭；图像呈现向上凸。

如果扩大的是 AA 的生产（纵轴），那么从下往上直线的斜率的绝对值越来越小，越来越平缓（因为 Copp(A)C_{opp}(A) 与 Copp(B)C_{opp}(B) 成反比）；不过图像仍是上凸的。

直线的相交位置：(Bi−1,Ai)(B_{i-1},A_i)

影响 PPC 的因素

  1. 资源增多
  2. 科技进步

总结

通常来说，如果交易双方的 Copp()C_{opp}() 差距越大，那么双方交易带来的资源节省和产能提升也会越大。

(CPC) Consumption Probalitity Curve

Closed Economy: 无开放贸易

在无开放贸易的情况下，一个经济体的 CPC 和 PPC 是重合的。因为除了这几个人没有人需要生产的物品，因此这些人生产出来的东西只能被自己消耗。

有浪费会趋于减产，有不够会趋于增产，最终都会回归到 PPC 上，因此 CPC 与 PPC 重合。

Open Economy and Open Trade

我们可以从几个角度来看 Open Trade 对 Production 和 Consumption 的影响，然后来看一看相关的计算。

以下假设假设贸易市场上 AA 的价格为 aa，BB 的价格为 bb，假设 TOTTOT 用 AperBA\mathop{per} B 计算，此时对于贸易市场来说，TOT=TOTAperB=abTOT=TOT_{A\mathop{per}B}=\frac{a}{b}

例子：如何生产使得收益最大化

贸易市场的价格可以用一根斜率确定、截距不定的直线在 PPC 图像（纵轴为 AA，横轴为 BB）上表示出来，这条直线的斜率就是 −TOT-TOT

为了让利益最大化，我们平移这条直线，让他和 PPC 产生交点，对于每一个交点计算收益，取最大值即可。

从交点倒推 TOT 和市场价格

一个很 tricky 的点是，图像上 PPC 的斜率是 −Copp(B)-C_{opp}(B)，但市场的直线的斜率是 −TOTAperB-TOT_{A\mathop{per}B}。记得取倒数。

最大化组合消费

通常会问，若消费 nn 单位的 AA，那么最多能消费多少 BB？

我们把这个过程转化为，X,YX,Y 两人先生产，通过贸易市场换成钱，再用钱在市场上买所需的物品。这里不考虑成“生产后的东西先拿出一部分满足消费”，是因为这两个思路是等价的

  1. 计算：在这个市场下，通过交易最多能赚多少钱
  2. 通过计算 TOTTOT，判断出每一个应该生产什么（贸易市场的 TOTAperBTOT_{A\mathbb{per}B} 更大，则生产 AA；否则生产 BB）
  3. 把生产出来的东西卖成钱
  4. 先购买需要消费的东西
  5. 然后就能计算最多能买多少了