自动化做市商 Automated Market Making

What is Market Making?

Impermanent Loss 推导

假设 AMM 的两种货币满足 constant product formula，即 $x\cdot y=L^2$ ，不妨设 $X$ 货币价格对 $Y$ 货币价格的比值为 $r=\frac{P_x}{P_y}=\frac{y}{x}$ . 则有

x=\frac{L}{\sqrt{r}}, y=L\sqrt{r}

不妨设 AMM Liquidity Pool 中 $Y$ 的价格为 $1$ unit，则 $X$ 的价格为 $r$ unit. 则 Liquidity Pool 的总价值为

V=y\times 1+x\times r=2L\sqrt{r}

现在假设进行 trade 后，Liquidity Pool 中 $X$ 货币对 $Y$ 货币的价格比值变为 $r'=\mu\cdot r$ ，则 Liquidity Pool 的总价值为

V_{pool}=2L\sqrt{r'}=2L\sqrt{\mu r}

而如果我们一开始不把钱放进 Pool 而是放在自己的手里：

V_{hold}=y\times 1+x\times r'=L\sqrt{r} (1+\mu)

所以，我们对于 Liquidity Providers 而言，其损失的财产为

\text{Loss}\%=\frac{V_{pool}-V_{hold}}{V_{hold}}=\frac{2\sqrt{\mu}-1-\mu}{1+\mu}=\frac{2\sqrt{\mu}}{1+\mu}-1