从这里开始，我们开始开从实数拓展到有理数 命题一：实数包括有理数 实数定理 R\RR 包含所有有理数 Q\mathbb QQ，即存在单射 f:Q↦Rf:\mathbb{Q}\mapsto \Rf:Q↦R，使得对 ∀x,y∈Q\forall x, y\in\mathbb{Q}∀x,y∈Q，有 f(x+Qy)=f(x)+f(y)f(x⋅Qy)=f(x)⋅f(y)x≤Qy ⟹ f(x)≤f(y) f(x+_{\mathbb{Q}}y)=f(x)+f(y)\\f(x\cdot_{\mathbb{Q}}y)=f(x)\cdot f(y)\\x\le_\mathbb{Q}y\implies f(x)\le f(y) f(x+Qy)=f(x)+f(y)f(x⋅Qy)=f(x)⋅f(y)x≤Qy⟹f(x)≤f(y)其中，+Q,⋅Q+_{\mathbb{Q}},\cdot_{\mathbb{Q}}+Q,⋅Q 是有理数上的加法和乘法。映射 fff 依然保持序关系和域关系。
