群的定义 - Arca's Blog

Properties

Property	Meaning
Closure 封闭性	$\forall a,b\in G, a\ast b\in G$
Identity 单位元	$\exist e \in G, \text{ s.t. } a\ast e=a=e\ast a$
Inverse 逆元	$\forall a\in G, \exist a^{-1}\in G, \text{ s.t. } a\ast a^{-1}=e=a^{-1}\ast a$
Associative 结合律	$\forall a,b,c\in G, (a\ast b)\ast c=a\ast(b\ast c)$
Commutative 交换律	$\forall a,b\in G, a\ast b=b\ast a$

Terms	Definition
Algebraic Structure 代数结构	一个集合 $G$ 和定义在 $G$ 上的二元操作符 $\ast:G\times G\mapsto G$
Finite Group 有限群	$G$ 是有限集合
Quasi-Group 类群	对任意 $a,b\in G$ ，存在唯一的 $x,y\in G$ ，使得 $a\ast x=b$ 并且 $y\ast a=b$
Semi Group 半群	满足封闭性、结合律的代数结构
Monoid 幺半群	满足封闭性、存在单位元和结合律的代数结构
Group 群	满足封闭性、存在单位元、存在逆元、结合律的代数结构
Abelian Group 阿贝尔群	额外满足交换律的群

Cancellation Laws 消去律

满足两个消去律的有限半群是群

Any finite semi-group, in which both the cancellation laws hold, forms a group.

【证明】

令 $S=\set{a_1,a_2, \dots a_n}$ ，则 $a_i\ne a_j, i\ne j$ . 令 $a=a_i\in S$ ，则考虑左乘 $a$

aa_1, aa_2, \dots, aa_n\quad \in S

这 $n$ 个元素应该两两不同。因为若 $aa_i=aa_j$ ，则由左消去律，有 $a_i=a_j$ ，矛盾。

同理，考虑右乘 $a$

a_1a,a_2a,\dots, a_na\quad \in S

这 $n$ 个元素也应该两两不同。

由于 $a\in S$ ，不妨设 $a=a_ja=aa_k$ 。考虑任意的 $i$ ：

\begin{aligned} a_ia&=a_i(a_ja)\\ &=(a_ia_j)a \end{aligned}

由右消去律， $a_i=a_ia_j$ .

同理，考虑 $aa_i=(aa_k)a_i$ ，有 $a_i=a_ka_i$ .

代入 $i=k$ ，有 $a_ka_j=a_ka_k$ ，有消去律得 $a_j=a_k$ ，所以 $a_i=a_ia_k=a_ka_i$ ，所以 $a_k$ 是单位元. 记 $e=a_k$ .

令 $a_k=aa_r=a_ta$ ，则 $aa_r=e=a_ta$ . 考虑从 $a_r=ea_r$ 出发：

\begin{aligned} a_r&=ea_r\\ &=(a_ta)a_r\\ &=a_t(aa_r)\\ &=a_te\\ &=a_t \end{aligned}

故 $a_r=a_t$ ，所以 $e=a_ra=aa_r$ ，根据定义 $a_r=a^{-1}$ . 所以对于任意元素都有逆元。

同时因为 $S$ 已经满足了结合律和封闭性，所以 $S$ 是一个群。

假设 $G$ 是一个具有 $n$ 个元素的集合。其 Cayley Table $C$ 是一个 $n\times n$ 的表格，第 $i$ 行第 $j$ 列的元素 $C_{i,j}=G_i\ast G_j$

$G$ 为 Group 的充分必要条件是 Cayley Table 是 Latin Square（即每一行每一列的数字都互不相同，且都是 $G$ 中元素）.