3D Transformation

和二维点同理，我们把三维点表示成四维 Homogeneous Coordinates

\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}\to \begin{bmatrix}wx\\wy\\wz\\w\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}x\\y\\z\\1\end{bmatrix}

Translation

\begin{bmatrix}1&0&0&t_x\\0&1&0&t_y\\0&0&1&t_z\\0&0&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\\z\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}x+t_x\\y+t_y\\z+t_z\\1\end{bmatrix}

Scaling

\begin{bmatrix}s_x&0&0&0\\0&s_y&0&0\\0&0&s_z&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\\z\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}xs_x\\ys_y\\zs_z\\1\end{bmatrix}

Rotation

我们默认是右手系，即默认逆时针旋转.

绕 $x$ -axis 旋转： $\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&\color{red}{\cos\theta}&\color{red}{-\sin\theta}&0\\0&\color{red}{\sin\theta}&\color{red}{\cos\theta}&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}$
绕 $y$ -axis 旋转： $\begin{bmatrix}\color{red}{\cos\theta}&0&\color{red}{\sin\theta}&0\\0&1&0&0\\\color{red}{-\sin\theta}&0&\color{red}{\cos\theta}&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}$
绕 $z$ -axis 旋转： $\begin{bmatrix}\color{red}{\cos\theta}&\color{red}{-\sin\theta}&0&0\\\color{red}{\sin\theta}&\color{red}{\cos\theta}&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}$

Affine Transformation

多个 Translation/Rotation/Scaling/Reflection 可以合成一个 Affine 矩阵. (并且这些 Basic Operations 也都是 Affine Transformations). 其 Matrix Form 是

\begin{bmatrix}x'\\y'\\z'\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a&b&c&m\\d&e&f&n\\g&h&p&l\\0&0&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\\z\\1\end{bmatrix}

在 VRML 里，Transformation 定义为数据结构：
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Transform {
    translate dx, dy, dz;
    rotation ax, ay, az, theta; // 绕 (ax,ay,az) 旋转 theta 度
    scale sz, sy, sz;
    children [...];
}
生效顺序为 $\texttt{ scale$\to$rotation$\to$translation}$