2D Transformation

注意，以下都是矩阵左乘向量！

Transformation 的基本元素

我们均假设点的坐标为 $(x,y)$，Transform 后的点为 $(x',y')$

• Rotation

  假设旋转角度为 $\theta$，则

  $$\begin{bmatrix}x' \\ y'\end{bmatrix}=R(\theta)\begin{bmatrix}x \\ y\end{bmatrix}$$

• Translation

  可以表示为向量加法：

  $$\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}t_x\\ t_y\end{bmatrix}$$

• Scaling

  假设关于某个点放大，即 $(x'-c_x)\gets s(x-c_x)$，（我们这里先忽略 $c_x$）有

  $$\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}s_x & 0\\0 & s_y\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}$$

• Reflection

  即关于 $x,y$-axis 进行反转

  $$\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}=B(1,0,-1)\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}$$

• Shear

  transformed shape appears as if the object were composed of internal layers that had been caused to slide over each other

  $$\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 & a \\ 0 & 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 & 0 \\ b & 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}$$

Homogeneous Coordinates

把二维的点 $(x,y)$ 拓展到三维 $(x_h, y_h, h)$ 使得 $xh=x_h, yh=y_h$. 则称 $(x_h, y_h, h)$ 是 $(x,y)$ 的 Homogeneous Coordinates.

故在三维空间里，二维点 $(x,y)$ 对应的是三维空间里的 $z=1$ 平面. 所有和 $(x,y)$ 等价的 Homogeneous Coordinates 构成经过 $(0,0,0), (x,y,1)$ 的直线.

把二维点的坐标表示为三维有另一个好处：我们可以把 translation 也表示成 Matrix Multiplication 的形式了.

• Translation

  可以表示为矩阵乘法：

  $$\begin{bmatrix}x'\\y'\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 & 0 & t_x\\0 & 1 & t_y\\0 & 0 & 1\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}x\\ y\\ 1\end{bmatrix}$$

• Rotation

  $$\begin{bmatrix}x'\\y'\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\cos\phi & \sin\phi & 0\\ -\sin\phi & \cos\phi & 0\\0 & 0 & 1\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}x\\ y\\ 1\end{bmatrix}$$

• Scaling

  如果是关于 $(c_x,c_y)$ 进行放大，那么我们首先将平移放缩中心到原点、放缩、再平移回去：

  $$\begin{bmatrix}x'\\y'\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}s_x & 0 & 0\\0 & s_y & 0\\0 & 0 & 1\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}x\\ y\\ 1\end{bmatrix}$$

• Reflection

• Shear

  $$\begin{bmatrix}x'\\y'\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 & a & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\\1\end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix}x'\\y'\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\ b & 1&0\\0&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\\1\end{bmatrix}$$

Affine Transformation

不管有多少矩阵，我们发现其都可以写成如下形式：