计算几何：圆

圆的数据结构定义

struct circle {
    point c; // 圆的中心
    real r; // 半径
};

注意事项

尽量避免直接用 (long) double 进行操作，考虑到浮点误差，更建议使用向量操作

圆与直线

过某点做某圆的切线

过一个点 $P$ 做圆 $C$ 的切线

若点 $P$ 在圆上，则切线垂直于半径 $CP$ ，直接令直线 $\texttt{s=$P$, d=perp($\vec{CP}$)}$ .

否则 $P$ 在圆外，否则没有切线。此时有两条切线，且应当关于 $CP$ 对称。考虑用误差更小的向量组合求出 $D$ ，然后另一边也能求了。

弦切角定理

令 $|CP|=d$ ，推理 $\Delta PCD$ 的面积，发现 $|AD| = \frac{r\sqrt{d^2-r^2}}{d}, |AP|=\frac{d^2-r^2}{d}$

所以 $D = P+|AP|\cdot \vec{PC} \plusmn |AD|\cdot \texttt{perp}(\vec{PC})$

Reference Code

std::vector<line> tangent(point x, circle c) {
    real d = distance(c.c, x);
    std::vector<line> res = {};
    if (d == c.r) res.push_back(line{x, perp(c.c - x)}); // 点在圆上
    else if(d > c.r) { // 点在圆外
        real c1 = (d.sqr() - c.r.sqr()) / d;
        real c2 = c.r * (sqrt(d.sqr() - c.r.sqr())) / d;
        res.push_back(line{x, (c.c-x).rescale(c1) + (c.c-x).Rrot().rescale(c2)});
        res.push_back(line{x, (c.c-x).rescale(c1) + (c.c-x).Lrot().rescale(c2)});
    } // 否则点在圆内
    return res;
}