Chebyshev 定理

ChebyShev 定理

For any population with mean $\mu$, variance $\sigma$ and $k\gt 1$, the percent of observations that lie within the interval $[\mu\plusmn k\sigma]$ is at least $(1-\frac{1}{k^2})$

【证明】对于随机变量 $X$，我们有

$$\mathbb{P}(|X-\mu|\le k\sigma)=1-\mathbb{P}(|X-\mu|^2\gt k^2\sigma^2)$$

而考虑 $|X-\mu|^2$ 的期望，有

$$\mathbb{E}[|X-\mu|^2]\ge \mathbb{E}[|X-\mu|^2 \cdot 1_{|X-\mu|^2\gt k^2\sigma^2}] \ge k^2\sigma^2 \mathbb{P}(|X-\mu|^2\gt k^2\sigma^2)$$