多元函数的极限与连续性

• 开球 Open Ball

  $$B(\mathbf{a},r)=\{\mathbf{x}\in\mathbb{R}^n:\Vert\mathbf{x}-\mathbf{a}\Vert\lt r\}$$

• 闭球 Closed Ball

  $$B(\mathbf{a},r)=\{\mathbf{x}\in\mathbb{R}^n:\Vert\mathbf{x}-\mathbf{a}\Vert\le r\}$$

• 边界点 boundary point

  • 令 $X$ 是 $\mathbb{R}^n$ 的子集，点 $\mathbf{a}\in X$ 如果任意一个以 $\mathbf{a}$ 为中心的 open ball 都同时包含在 $X$ 中的点和不在 $X$ 中的点，则称为 $X$ 的 boundary point
  • $X$ 的 boundar 是 $X$ 的所有 boundary point 的集合，记为 $\partial X$．

• 内点 interior point

  • 令 $X$ 是 $\mathbb{R}^n$ 的子集，点 $\mathbf{a}\in X$ 如果满足 $\exists r\gt 0$ 使得 $B(\mathbf{a},r)\subset X$，则 $\mathbf{a}$ 称为 $X$ 的内点．
  • $X$ 的 interior 为所有 interior point 的集合．

• 开集 Open Set

  • 对于 $X\subset\mathbb{R}^n$，如果任意 $x\in X$ 都是其内点，那么 $X$ 是 open set in $\mathbb{R}^n$．

• 闭集 Closed Set

  • 对于 $X\subset \mathbb{R}^n$，如果其补集是开集，那么 $X$ 就是 $\mathbb{R}^n$ 上的闭集．

• $\emptyset,\mathbb{R}^2$ 同时是开集和闭集

极限点、聚点

令 $X\subset \mathbb{R}^n$，如果点 $\mathbf{a}\in \mathbb{R}^n$ 满足　对于任意 $\delta\gt 0$，都存在 $\mathbf{x}\in X \cap B(\mathbf{a},\delta)$ 且 $\mathbf{x}\ne\mathbf{a}$，则称 $\mathbf{a}$ 是 $X$ 的极限点 (limit point)，或者聚点 (accumulation point)．

反之，如果 $\mathbf{a}\in X$ 但不是极限点，则成为孤立点 (isolated point)．

多元函数的极限

令函数 $\mathbf{f}:X\mapsto \mathbb{R}^m,X\in \mathbb{R}^n$，且 $\mathbf{a}\in X$ 是其极限点，我们说 $\mathbf{L}$ 是函数 $\mathbf{f}$ 在 $\mathbf{a}$ 处的极限，当且仅当　对于任意的 $\epsilon\gt 0$，都存在 $\delta\gt 0$ 满足 $\mathbf{x}\in X$ 且 $0\lt \Vert \mathbf{x}-\mathbf{a}\Vert\lt \delta$ 时，有 $\Vert \mathbf{f}(\mathbf{x})-\mathbf{L}\Vert\lt \epsilon$，此时，我们记

$$\lim_{\mathbf{x}\to\mathbf{a}} \mathbf{f}(\mathbf{x})=\mathbf{L}$$

极限运算法则

多元函数极限不存在的判定方法

有两种常用方法判断函数在某个点的极限不存在：

1. 考虑穿过极限点的一条曲线，如果这条曲线在该点处没有极限，那么原函数在该点处也没有极限
2. 考虑穿过极限点的两条曲线，如果这两条曲线在该点处的极限不同，那么也没有极限。

夹逼定理